Bildning, Gymnasieutbildning och skolor
Linjära och homogena differentialekvation av första ordningen. exempel på lösningar
Jag tycker att vi borde börja med historien om den härliga matematiska verktyg som differentialekvationer. Liksom alla differential och integralkalkyl, dessa ekvationer uppfanns av Newton i slutet av 17-talet. Han trodde att det var hans upptäckt så viktigt att även det krypterade meddelandet, som idag kan översättas på följande sätt: "Alla naturlagarna som beskrivs av differentialekvationer" Det kan tyckas vara en överdrift, men det är sant. Alla lag i fysik, kemi, biologi, kan beskrivas med dessa ekvationer.
En enorm bidrag till utvecklingen och skapandet av teorin om differentialekvationer har matematik Euler och Lagrange. Redan på 18-talet upptäckte och utvecklade vad som nu studerar vid högre kurser universitet.
En ny milstolpe i studiet av differentialekvationer började tack vare Anri Puankare. Han skapade en "kvalitativ teori om differentialekvationer", vilket i kombination med teorin för funktioner av komplexa variabler bidragit avsevärt till grundandet av topologi - läran om rymden och dess egenskaper.
Vad är differentialekvationer?
Många människor är rädda för frasen "differentialekvation". Men i den här artikeln kommer vi att i detalj kärnan i denna mycket användbart matematiska verktyg som är faktiskt inte så komplicerat som det verkar från titeln. För att börja tala om en första ordningens differentialekvation måste du först bekanta sig med grundläggande begrepp som i sig är förknippade med denna definition. Och vi börjar med differentialen.
avvikelsen
Många människor vet denna term sedan high school. Men fortfarande bo på det i detalj. Föreställ grafen av funktionen. Vi kan öka den till en sådan utsträckning att någon av dess segment blir en rak linje. Det tar två punkter som är oändligt nära varandra. Skillnaden mellan deras koordinater (x eller y) är oändligt liten. Och den kallas differential och beteckningar dy (differential av y) och dx (differentialen av x). Det är viktigt att förstå att skillnaden inte är det slutliga värdet, och detta är innebörden och den viktigaste funktionen.
Och nu måste du överväga följande element, som vi kommer att behöva förklara differentialekvation konceptet. It - derivat.
derivat
Alla av oss måste ha hört i skolan och denna uppfattning. De säger att derivatan - är graden av tillväxt eller minskning av funktionen. Men blir denna definition mer förvirrande. Låt oss försöka förklara derivat villkoren för skillnaderna. Låt oss gå tillbaka till oändligt intervallfunktion med två punkter, som ligger på ett minsta avstånd från varandra. Men även bortom detta avstånd funktion är dags att byta till ett visst värde. Samt att beskriva denna förändring och komma med ett derivat som annars skulle skrivas som förhållandet av differentialerna: f (x) '= df / dx.
Nu är det nödvändigt att överväga de grundläggande egenskaperna hos derivatet. Det finns bara tre:
- Derivat summan eller skillnaden kan representeras som summan eller skillnaden av derivaten: (a + b) '= a' + b 'och (ab)' = a'-b'.
- Den andra egenskapen är förbunden med multiplikation. Bearbetningar - är summan av arbetena av en funktion till ett annat derivat: (a * b) '= a' * b + a * b'.
- Derivatan av skillnaden kan skrivas som följande ekvation: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b 2.
Alla dessa funktioner komma till hands för att hitta lösningar till differentialekvationer av första ordningen.
Också, det är partiella derivat. Antag att vi har en funktion av z, vilket beror på variablerna x och y. För att beräkna den partiella derivatan av denna funktion, till exempel i X, måste vi ta variabeln y för konstant och lätt att skilja.
integrerad
En annan viktigt begrepp - integral. I själva verket är den motsatta av derivatet. Integraler finns flera typer, men de enklaste lösningarna av differentialekvationer, behöver vi de mest triviala obestämda integraler.
Så, vad är integrerad? Låt oss säga att vi har ett visst samband f x. Vi tar från det integralen och erhålla en funktion F (x) (den är ofta till som en primitiv), som är ett derivat av den ursprungliga funktionen. Därför F (x) '= f (x). Detta innebär också att integralen av derivat är lika med den ursprungliga funktionen.
För att lösa differentialekvationer är det mycket viktigt att förstå innebörden och funktionen hos integral, eftersom mycket ofta måste ta dem att hitta lösningar.
Ekvationerna är olika beroende på deras karaktär. I nästa avsnitt kommer vi att titta på olika typer av första ordningens differentialekvationer, och sedan lära sig att lösa dem.
Klasser av differentialekvationer
"Diffury" dividerat med ordning av derivat som är inblandade i dessa. Sålunda finns ett första, andra, tredje eller mer ordning. De kan också delas upp i flera klasser: ordinära och partiella.
I den här artikeln kommer vi att överväga de ordinära differentialekvationer av första ordningen. Exempel och lösningar vi diskuterar i följande avsnitt. Vi anser bara TAC, eftersom det är de vanligaste typerna av ekvationer. Vanliga uppdelad i underarter: med separerbara variabler, homogena och heterogena. Härnäst kommer du att lära dig hur de skiljer sig från varandra, och lära sig hur man löser dem.
Dessutom kan dessa ekvationer kombineras, så att efter att vi får ett system av differentialekvationer av första ordningen. Sådana system, vi även titta på och lära sig att lösa.
Varför vi överväger bara den första ordern? Eftersom det är nödvändigt att börja med en enkel och beskriva alla i samband med differentialekvationer, i en enda artikel är det omöjligt.
Ekvationer med avskiljbara variabler
Detta är kanske den mest enkla första ordningens differentialekvationer. Dessa är exempel som kan skrivas som: y '= f (x) * f (y). För att lösa denna ekvation måste vi representation formel av derivatet som förhållandet differentialerna: y '= dy / dx. Med det får vi ekvationen: dy / dx = f (x) * f (y). Nu kan vi vända sig till sätt att lösa vanliga exempel: separera variablerna i delar, det vill säga snabbspolning framåt hela variabeln y i den del där det finns Dy, och även göra variabeln x ... Vi erhålla en ekvation av formen: dy / f (y) = f (x) dx, vilket uppnås genom att ta gralerna för två delar. Glöm inte om konstant som du vill lägga efter integration.
Lösningen på alla "diffura" - är en funktion av x med y (i vårt fall), eller om det finns ett numeriskt tillstånd, är ett nummer svaret. Låt oss undersöka ett konkret exempel hela loppet av beslutet:
y '= 2y * sin (x)
Överför variabler i olika riktningar:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nu tar integral. Alla av dem kan hittas i en särskild tabell med integraler. Och vi får:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Vid behov kan vi uttrycka "y" som en funktion av "X". Nu kan vi säga att vår differentialekvation löses, om inte specificerat tillstånd. Kan specificeras tillstånd, t ex, y (n / 2) = e. Då kommer vi helt enkelt ersätta värdet av dessa variabler i beslutet och hitta värdet på konstanten. I vårt exempel är det en.
Homogena första ordningens differentialekvationer
Nu till de mer komplexa detaljer. Homogena första ordningens differentialekvationer kan skrivas i allmän form som: y '= z (x, y). Det bör noteras att rätt funktion av två variabler är jämn, och det kan inte delas upp i två beroende på: z x och z för y. Kontrollera om ekvationen är homogen eller inte, är ganska enkel: vi substitution x = k * x och y = k * y. Nu skär vi alla k. Om dessa bokstäver sjunkit, då ekvationen homogen och kan säkert fortsätta till dess lösning. Framöver, säger vi: principen om lösningen av dessa exempel är också mycket enkel.
Vi måste göra substitution: y = t (x) * x, där t - en funktion som beror också på x. Då kan vi uttrycka derivatet: y '= t' (x) * x + t. Ersätta allt detta i vår ursprungliga ekvationen och förenkla det, har vi exemplet med variabelseparation t som x. Lösa det och erhålla beroendet av t (x). När vi fick det, helt enkelt ersätta vår tidigare substitution y = t (x) * x. Sedan får vi beroendet av y på x.
För att göra det tydligare skall vi förstå ett exempel: x * y '= yx * e y / x.
Vid kontroll av utbyte av alla minskar. Så är ekvationen verkligen homogen. Nu göra en annan substitution, vi talat om: y = t (x) * x och y '= t' (x) * x + t (x). Efter förenkling följande ekvation: t '(x) * x = -e t. Vi beslutar att få ett prov med separerade variabler och vi får: e -t = ln (C * x). Vi behöver bara byta ut T av y / x (eftersom om y = t * X, då t = y / x), och vi får svaret: e -y / x = ln ( x * C).
Linjär differentialekvation av första ordningen
Det är dags att överväga en annan brett ämne. Vi kommer att titta heterogena första ordningens differentialekvationer. Hur skiljer de sig från de två föregående? Låt oss inse det. Linjära första ordningens differentialekvationer i den allmänna formen av ekvationen kan skrivas sålunda: y '+ g (x) * y = z (x). Det bör klargöras att z (x) och g (x) kan vara konstanta värden.
Här är ett exempel: y '- y * x = x 2.
Det finns två sätt att lösa, och vi beställer Låt oss undersöka dem båda. Den första - den metod för variation av godtyckliga konstanter.
Lösa ekvationen på detta sätt, är det nödvändigt att likställa den första högra sidan till noll, och lösa den resulterande ekvation som efter överföringen av delar blir:
y '= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x 2/2 + C;
y = e x2 / 2 * C y = C 1 * e x2 / 2.
Nu är det nödvändigt att ersätta konstanten C1 på funktionen v (x), som vi kommer att hitta.
y = v * e x2 / 2.
Rita en ersättare derivat:
y '= v' * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.
Och ersätta dessa uttryck i den ursprungliga ekvationen:
v '* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Du kan se att i den vänstra sidan av de två termer minskar. Om någon exempel som inte skedde, då du har gjort något fel. Vi fortsätter att:
v '* e x2 / 2 = x 2.
Nu ska vi lösa den vanliga ekvation som du vill separera variablerna:
dv / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
För att ta bort den integrerade, måste vi tillämpa integrationen av delar här. Detta är dock inte ämnet för denna artikel. Om du är intresserad, kan du lära dig på egen hand för att genomföra sådana åtgärder. Det är inte svårt, och med tillräckligt skicklighet och omsorg inte är tidskrävande.
Med hänvisning till den andra metoden lösningen av de inhomogena ekvationer: Bernoulli metod. Vilken metod är snabbare och enklare - det är upp till dig.
Så, när lösa detta förfarande, måste vi göra substitutionen: y = k * n. Här k och n - några funktioner beroende på x. Då derivatet kommer att se ut: y '= k' * n + k * n'. Suppleant två byten i ekvationen:
k '* n + k * n ' + x * k * n = x 2.
Grupp up:
k '* n + k * ( n' + x * n) = x 2.
Nu är det nödvändigt att likställa till noll, det vill säga inom parentes. Nu, om du kombinerar de två resulterande ekvationerna får vi ett system av första ordningens differentialekvationer lösas:
n '+ x * n = 0;
k '* n = x 2.
Den första jämlikhet bestämma hur den vanliga ekvationen. För att göra detta måste du separera variablerna:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Vi tar integrerad och vi får: ln (n) = x 2/2. Sedan, om vi uttrycker n:
n = e x2 / 2.
Nu ersätta den resulterande ekvationen i den andra ekvationen:
k '* e x2 / 2 = x 2.
Och omvandla får vi samma ekvation som i den första metoden:
dk = x 2 / e x2 / 2.
Vi kommer inte heller att diskutera ytterligare åtgärder. Det sägs att vid första första ordningens differentialekvationer lösning förorsakar avsevärda svårigheter. Men en djupare nedsänkning i ämnet börjar bli bättre och bättre.
Var är differentialekvationer?
Mycket aktiva differentialekvationer som används inom fysiken, eftersom nästan alla de grundläggande lagarna är skrivna i differentialform, och de formler, som vi ser - en lösning på dessa ekvationer. I kemi, används de av samma anledning: de grundläggande lagarna härleds genom dem. I biologi är de differentialekvationer som används för att modellera beteendet hos system, såsom rovdjur - byte. De kan också användas för att skapa modeller av reproduktion, till exempel kolonier av mikroorganismer.
Som differentialekvationer hjälp i livet?
Svaret på den frågan är enkelt: ingenting. Om du inte är en vetenskapsman eller ingenjör, är det osannolikt att de kommer att vara till nytta. Men inte ont att veta vad differentialekvation och det är löst för den övergripande utvecklingen. Och då frågan om en son eller dotter, "vad en differentialekvation?" inte sätta dig i en återvändsgränd. Tja, om du är en vetenskapsman eller ingenjör, då vet du hur viktigt detta ämne i någon vetenskap. Men viktigast av allt, som nu på frågan "hur man ska lösa differentialekvation av första ordningen?" du kommer alltid att kunna ge ett svar. Överens, är det alltid trevligt när man inser att vad människor är ännu rädda för att ta reda på.
De största problemen i studien
Det största problemet i förståelsen av detta ämne är en dålig vana av integration och differentiering funktioner. Om du känner dig osäker TAR derivator och integraler, är det förmodligen värt mer att lära, för att lära sig olika metoder för integration och differentiering, och först därefter gå vidare till studier av det material som har beskrivits i artikeln.
Vissa människor är förvånad över att dx kan överföras som tidigare (i skolan) hävdade att den fraktion dy / dx är odelbar. Då måste du läsa litteratur på derivatet och förstår att det är attityden hos oändligt små mängder, som kan manipuleras för att lösa ekvationer.
Många människor inte omedelbart inser att lösningen av differentialekvationer av första ordningen - är detta ofta en funktion eller neberuschiysya integral, och detta villfarelse ger dem en massa problem.
Vad kan studeras för att bättre förstå?
Det är bäst att börja ytterligare nedsänkning i en värld av differentialkalkyl specialiserade läroböcker, till exempel i matematisk analys för studenter i icke-matematiska specialiteter. Du kan sedan flytta till mer facklitteratur.
Det sägs att, förutom differentialen, finns det fortfarande integralekvationer, så att du alltid har något att sträva efter och vad man ska studera.
slutsats
Vi hoppas att efter att ha läst den här artikeln kommer du att ha en uppfattning om vad de differentialekvationer och hur man löser dem på rätt sätt.
I vilket fall som helst, matematik på något sätt till nytta för oss i livet. Den utvecklar logik och uppmärksamhet, utan vilken varje människa, som utan händer.
Similar articles
Trending Now