Differentialkalkyl för funktioner av en och flera variabler

Differentialkalkyl är en gren av matematisk analys, som granskar derivatet, differentialer och deras användning i studien av funktioner.

Historien om

Differentialkalkyl framträdde som en självständig disciplin under andra halvan av 17-talet, tack vare det arbete som Newton och Leibniz, som formulerade de grundläggande bestämmelserna i beräkningen av skillnader och märkte sambandet mellan integration och differentiering. Eftersom disciplin han utvecklade samt beräkningen av integraler, vilket utgör grunden för den matematiska analysen. Utseendet på dessa calculi öppnat en ny modern period i den matematiska världen och orsakade uppkomsten av nya discipliner inom vetenskapen. utökade också möjligheten att tillämpa matematik i naturvetenskap och teknik.

grundläggande begrepp

Differentialkalkyl bygger på grundläggande begrepp i matematik. Dessa är: ett reellt tal, kontinuitet, och slutliga funktion. Efter en tid har de tagit ett modernt utseende, tack vare den integrerade och differentialkalkyl.

Processen för att skapa

Bildandet av differenskalkyl i form av ett program och sedan den vetenskapliga metoden inträffade före uppkomsten av filosofiska teori, som skapades av Nikolay Kuzansky. Hans arbete anses vara en evolutionär utveckling från den antika vetenskapen om dom. Trots att filosofen själv var inte en matematiker, är obestridlig hans bidrag till utvecklingen av matematiska vetenskapen. Cusanus, en av de första av behandlingen av aritmetik som den mest exakta vetenskap, matematik sätta tiden ifrågasätts.

I gamla matematiker universella kriterium var en enhet, medan filosofen föreslås som en ny åtgärd oändlighet tillbaka det exakta antalet. I samband med denna inverterade representation av noggrannhet i matematisk vetenskap. Vetenskaplig kunskap, enligt hans uppfattning, är uppdelad i rationell och intelligent. Den andra är mer exakt, enligt forskare, eftersom den förstnämnda ger endast ungefärliga resultat.

idé

Den grundläggande idén och konceptet differentialkalkyl i samband med funktionen i en liten stadsdel i vissa punkter. För detta är det nödvändigt att skapa en matematisk apparat att fungera studier vars beteende i ett litet område i punkter installeras nära beteendet hos en linjär funktion eller ett polynom. Baserat på denna definition av derivat och differential.

Uppkomsten av begreppet derivatet orsakades av ett stort antal problem med naturvetenskap och matematik, vilket ledde till fastställandet av gränsvärden av samma typ.

En av de viktigaste uppgifterna som ges som ett exempel, med början med de äldsta skolklasser, är att bestämma hastigheten på rörelsen hos en punkt i en rak linje och konstruktionen av tangentlinjen till denna kurva. Differential kopplat till detta, eftersom det är möjligt att approximera funktionen i ett litet område i den punkt där en linjär funktion.

Jämfört med begreppet derivat av en funktion av en reell variabel, passerar definitionen av differentialer bara på funktionen av allmän karaktär, i synnerhet bilden av en Euclidean utrymme till ett annat.

derivat

Låta punkt rör sig i riktning av y-axeln, för den tid vi tar x, vilken mäts från början av ett ögonblick. Beskriva en sådan rörelse är möjlig genom funktionen y = f (x), som är associerad till varje tidpunkt x-koordinat förskjutbara punkt. Denna funktionsanrop inom mekanik för att ta lagen i rörelse. Den viktigaste kännetecknet av rörelsen, särskilt ojämn, är den momentana hastigheten. När en punkt rör sig längs y-axeln enligt lagen av mekanik, slumptidspunkten det förvärvar koordinaten x F (x). I tidspunkten X + Ah där Ah representerar inkrementet av tid, kommer det att kordinaty f (x + Ah). Sålunda bildade formeln Ay = f (x + Ah) - f (x), som kallas ett inkrement funktion. Det är en punkt av vägen passeras under tiden från x till x + Ah.

I samband med uppträdandet av hastighet vid tiden derivatet administreras. Derivatan av en funktion vid en fast punkt som kallas gränsen (förutsatt att det finns). Det kan hänvisas till vissa tecken:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Processen för att beräkna derivatan av samtals differentiering.

Differentialkalkyl för funktioner av flera variabler

Denna metod används vid beräkning av funktionsstudie flera variabler. När det finns två variablerna x och y, den partiella derivatan med avseende på x vid punkten A kallas derivat av denna funktion i x med en fast y.

Kan anges med följande symboler:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / dx och ∂f (x, y) '/ ∂x.

kunskaper som krävs

För att framgångsrikt lära sig och kunna lösa diffury kunskaper som krävs i integration och differentiering. För att göra det lättare att förstå differentialekvationer, måste förstås ämne derivat och obestämd integral. Inte heller ont att lära sig att leta efter derivatan av implicita funktion. Detta beror på det faktum att i inlärningsprocessen använder ofta integraler och differentiering.

Typer av differentialekvationer

Praktiskt taget alla kontroll arbetet i samband med de första ordningens differentialekvationer, det finns 3 typer av ekvationer: homogena, med separerbara variabler, linjär inhomogena.

Det finns också mer sällsynta arter ekvationer med totalt differentialer, Bernoullis ekvation, och andra.

Fundamentals lösningar

Till att börja med bör vi komma ihåg är algebraisk ekvationen för en skola kurs. De innehåller variabler och siffror. För att lösa den konventionella ekvationen ska hitta massor av siffror som uppfyller ett angivet villkor. Normalt är dessa ekvationer har en rot, och för validering bör endast ersätta detta värde på plats okänd.

Differentialekvationen liknar denna. I allmänhet, en ekvation av första ordningen innefattar:

• Oberoende variabeln.
• Ett derivat av den första funktionen.
• Funktion eller beroende variabel.

I vissa fall kan det finnas ingen okänd, x eller y, men det är inte lika viktigt som det är nödvändigt att ha den första derivatan, utan några högre ordningens derivator till lösningen och differentialkalkyl var sant.

Lös differentialekvationen - det innebär att hitta den uppsättning av alla funktioner som är lämpliga med tanke på uttryck. Sådana uppsättningar av funktioner kallas ofta den allmänna lösningen kontroll.

gralkalkyl

Gralkalkyl är en av de sektioner av matematisk analys, som undersöker begreppet integrerade, egenskaper och metoder för dess beräkningar.

Ofta beräkningen av integralen sker när beräkning av arean av en kroklinjig form. På detta sätt en gräns område, mot vilket en förutbestämd yta av den inskrivna polygonform med en gradvis ökning av sin hand och datasidan kan göras mindre än någon tidigare specificerade godtyckligt litet värde.

Den huvudsakliga idén i beräkningen av ytan för varje geometrisk form är beräkning av arean av en rektangel, så finns det bevis för att dess area är lika med produkten av längden av bredden. När det kommer till geometri, sedan alla konstruktioner är tillverkade med användning av en linjal och kompass, och sedan förhållandet mellan längd och bredd är ett rationellt värde. Vid beräkning av arean av en rätvinklig triangel kan fastställas att om du sätter en nästa triangel, en rektangel bildas. I det område av parallellogram beräknas i en liknande men något mer komplicerad metod, inom en rektangel och en triangel. Inom området en polygon anses av trianglar som ingår i den.

Vid bestämning av händerna på godtyckliga, inte denna metod inte passar kurvan. Om vi dela upp den i enskilda rutor, kommer den att förbli ofyllda platser. I detta fall, försök att använda två skikt, med rektanglar ovanför och nedanför, som en följd av de inbegriper grafen av funktionen och inkluderar inte. Viktigt här är ett sätt att bryta dessa rektanglar. Även om vi tar paus mer och mer reduceras bör området för toppen och botten konvergerar på ett visst värde.

Det bör återgå till en metod för att separera till rektanglar. Det finns två populära metoder.

Riemann aliserades definitionen av integral, skapad av Leibniz och Newton, eftersom området av subgraf. I detta fall, vi betraktas som en siffra som består av ett visst antal vertikala rektanglar som erhålls genom att dividera intervallet. När bryta en minskning finns det en gräns till vilken den reducerade området för en sådan siffra, är denna gräns kallas Riemannintegralen av en funktion med ett angivet intervall.

En andra metod är att konstruera Lebesgueintegralen, bestående i det faktum att i stället för separation angivna området på en delen av integ och sammanställa därefter integralen summan av de värden som erhållits i dessa delar vid intervall dividerat sitt intervall av värden, och summeras sedan med motsvarande åtgärder inversa bilder av dessa integraler.

moderna hjälpmedel

En av de viktigaste fördelarna för studiet av differential och integralkalkyl Fikhtengol'ts skrev - "av differential och integralkalkyl." Hans lärobok är ett grundläggande verktyg för studiet av matematisk analys, som motstått många upplagor och översättningar till andra språk. Skapad för studenter och under en lång tid som används i en mängd olika utbildningsinstitutioner som en av de främsta fördelarna med studien. Det ger teoretisk information och praktiska färdigheter. Först publicerat 1948.

Funktionen forskning Algorithm

För att undersöka metoderna för differentialkalkyl funktion, måste du följa redan given algoritm:

1. Hitta domänen av funktionen.
2. Hitta rötterna av den givna ekvationen.
3. Beräkna ytterligheterna. För att göra detta beräknar vi derivatet och den punkt där det är noll.
4. Vi ersätta det värde som erhålls i EQ.

Sorter av differentialekvationer

Styrning av första ordningen (annars, differentialkalkyl i en variabel) och deras typer:

• Med separerbara variabler ekvation: f (y) dy = g (x) dx.
• Den enklaste ekvation eller differentialkalkyl funktion av en variabel, som har formeln: y '= f (x).
• Den linjära första ordningens olikformig kontroll: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differentialekvation: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ekvation totala differentialer med: P (x, y) dx ^ Q (x, y) dy = 0.

De differentialekvationer av andra ordningen och deras typer:

• Homogen linjär andra ordningens differentialekvation med konstanta ^{koefficienter: y n + py '+ QY} = 0 p, q hör R.
• Inhomogena linjära andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter ^{värde: y n + py '^ QY} = f (x).
• Homogen linjär ^{differentialekvation: y n + p (x)} y '^ q (x) y = 0, och inhomogena andra ordningens ^{ekvation: y n + p (x)} y' ^ q (x) y = f (x).

Differentialekvationer av högre order och de typer:

• Differentialekvationen, vilket möjliggör reduktion av den ^{ordning: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• En linjär ekvation av högre ordning ^{_{homogent: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f _en y '+ f ₀ y = 0, och ^{_{inhomogen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadier av att lösa problemet med differentialekvationen

Med hjälp av fjärrkontrollen löses inte bara matematik eller fysiska problem, men också de olika problemen med biologi, ekonomi, sociologi och andra. Trots de många olika ämnen bör följa en enkel logisk sekvens för att lösa dessa problem:

1. Upprättande kontroll. En av de svåraste stegen, vilket kräver maximal noggrannhet, eftersom varje misstag kommer att leda till helt felaktiga resultat. Det är nödvändigt att ta hänsyn till alla faktorer som påverkar processen och bestämma begynnelsevillkor. Det bör också vara baserad på fakta och logiska slutsatser.
2. För att lösa ekvationer. Denna process är lättare att den första punkten, eftersom det kräver bara strikt tillämpning av matematiska beräkningar.
3. Analys och utvärdering av resultaten. Härledd lösning bör bedömas för installation av praktiska och teoretiska värdet av resultatet.

Ett exempel på användningen av differentialekvationer i medicin

Med hjälp av fjärrkontrollen i det medicinska området finns i byggandet av epidemiologiska matematisk modell. Vi får inte glömma att dessa ekvationer finns också i biologi och kemi, som ligger nära medicinen, eftersom den spelar en viktig roll att studera olika biologiska populationer och kemiska processer i människokroppen.

I detta exempel, kan den epidemiska spridningen av infektion behandlas i ett isolerat samhälle. Invånarna är indelade i tre typer:

• Infekterade, (är kort inkubationstid) antalet x (t), som bestod av individer, infektiösa bärare, vilka var och en är smittsam.
• Den andra typen omfattar mottagliga individer y (t), kan infekteras genom kontakt med smittade.
• Den tredje typen innefattar eldfasta individer z (t), som är immun- eller förloras på grund av sjukdom.

Antal personer hela tiden, hålla födelse, naturliga dödsfall och migration anses inte vara. Kärnan är två hypoteser.

Procentandelen av förekomsten hos en viss tidpunkt är lika med x (t) y (t) (baserat på antagandet på teorin att antalet fall i förhållande till det antal av skärningspunkter mellan patienter och mottagliga medlemmar, som i den första approximationen är proportionell mot x (t) y (t)), i därför antalet fall ökar, och antalet mottagliga minskar med en hastighet, som beräknas genom formeln ax (t) y (t) (a> 0).

Antal eldfasta individer som har förvärvat immunitet eller förlorade, ökar med en hastighet som är proportionell mot antalet fall, bx (t) (b> 0).

Som ett resultat kan du ställa in ett ekvationssystem med alla de tre indikatorerna på grundval av sina slutsatser.

EXEMPEL användning ekonomi

Differentialkalkyl används ofta i ekonomisk analys. Huvuduppgiften i den ekonomiska analysen anses vara studiet av värdena i ekonomin, som redovisas i form av funktionen. Det används för att lösa problem såsom förändringar skatteökningar omedelbart efter inträdesavgifter, förändringar i intäkter när ändra värdet på produkten, hur stor del kan ersättas med pensionerade medarbetare med ny utrustning. Att lösa sådana problem, är det nödvändigt att konstruera en kommunikationsfunktion av de inkommande variabler, som, efter att ha studerat genom differentialkalkyl.

är det ofta nödvändigt att hitta den mest optimala prestanda på det ekonomiska området: maximal produktivitet, de högsta inkomsterna, minst kostnad och så vidare. Varje sådan komponent är en funktion hos en eller flera argument. Till exempel kan produktionen betraktas som en funktion av arbete och kapital. I detta sammanhang, att finna ett lämpligt värde kan reduceras till att finna den maximala eller minst en funktion av en eller flera variabler.

Sådana problem skapar en klass av extrem problem på det ekonomiska området, som du behöver differentialkalkyl. När den ekonomiska indikatorn som krävs för att minimera eller maximera som en funktion av andra parametrar, kommer ökningen förhållandet maximal punkt funktion argumenten tenderar till noll om ökningen av argumentet går mot noll. Annars, när en sådan inställning tenderar att en viss positiv eller negativt värde, är den angivna punkten inte lämplig, eftersom genom ökning eller minskning argumentet kan ändras beroende värde i den önskade riktningen. I differentialkalkyl terminologi skulle detta innebära att de villkor som krävs för maximal funktion är ett nollvärde av dess derivat.

Ekonomin är inte ovanligt problem med att hitta extrem av en funktion av flera variabler, eftersom ekonomiska indikatorer består av många faktorer. Sådana frågor är välkända inom teorin för funktioner av flera variabler metoden för att beräkna differentialen. Sådana problem inkluderar inte bara maximerad och minimerad funktion, men också begränsningar. Frågorna avser matematisk programmering, och de löses med hjälp av speciellt utvecklade metoder bygger också på denna gren av vetenskapen.

Bland metoderna för differentialkalkylen används i ekonomin, är ett viktigt avsnitt det ultimata testet. På det ekonomiska området, hänvisar termen till en uppsättning metoder för forskning av varierande prestanda och resultat när du ändrar volymen av skapelsen, konsumtion, baserat på en analys av deras gränsvärden. Begränsande indikation anses derivat eller de partiella derivat med flera variabler.

Differentialkalkyl i flera variabler - ett viktigt ämne i matematisk analys. För en detaljerad studie, kan du använda en mängd olika läromedel för lärosätena. En av de mest kända skapade Fikhtengol'ts - "av differential och integralkalkyl." Hur stor del av namnet för att lösa differentialekvationer av stor vikt att ha kompetens att arbeta med integraler. När det finns en differentialkalkyl för funktioner av en variabel, blir beslutet lättare. Även om det bör noteras följer samma grundläggande regler. I praktiken att undersöka funktionen hos differentialkalkyl, följ bara den redan existerande algoritmen som ges på gymnasiet, och endast lite komplicerat med införandet av nya variabler.