Euklidiska rymden: definition, egenskaper, skyltar

Även i skolan, alla studenter introduceras till begreppet "euklidiska geometrin", de centrala bestämmelser som är fokuserade kring några axiom baserade på geometriska element som punkter, flygplan, rak linje. Alla av dem tillsammans bildar vad som redan är känt genom termen "euklidiska rymden".

Euklidisk utrymme, definitionen av vilken är baserad på positionen för den skalära multiplikationen av vektorer är ett specialfall av linjär (affin) utrymme, som uppfyller ett antal krav. För det första är den inre produkten av vektorerna helt symmetrisk, dvs. vektorn med koordinaterna (x; y) i fråga om kvantitet är identisk med vektorn med koordinaterna (y; x), men med motsatt riktning.

För det andra, i den händelse som gjorde skalärprodukten av vektorn med sig själv, kommer resultatet av denna åtgärd vara positiv. Det enda undantaget skulle vara fallet när start- och slut koordinaterna för denna vektor är lika med noll: i det här fallet och dess produkt med sig samma kommer att vara noll.

För det tredje finns det en skalärprodukt är distributiv, det vill säga möjligheten att utvidga ett av dess koordinater på summan av de två värden som inte innebär någon förändring i det slutliga resultatet av skalärmultiplikation vektorer. Slutligen, i den fjärde, i multiplikation av vektorer med samma realvärde av deras skalärprodukt ökar också med samma faktor.

I så fall, om alla dessa fyra villkor, vi kan säga att detta är en euklidiska rymden.

Euklidiskt utrymme från en praktisk synvinkel, kan kännetecknas av följande specifika exempel:

1. Det enklaste fallet - är att det finns en uppsättning vektorer med några av de grundläggande lagar geometri, skalärprodukten.
2. Euklidiska utrymme erhålls i fallet om man med vektorer menar vi en viss ändlig uppsättning av reella tal med en given formel, som beskriver deras skalär summa eller produkt.
3. Ett specialfall av ett euklidiskt utrymme är nödvändigt att erkänna det så kallade noll utrymme, som erhålles för det fall att längden av både skalära vektorer är noll.

Euklidiska rymden har ett antal specifika egenskaper. För det första kan skalära faktorn tas för både den första konsolen och den andra faktorn skalärprodukten kommer resultatet av denna inte att genomgå några förändringar. För det andra, längs det första organet från fördelningen av den skalära produkten, fungerar och Distributivity andra elementet. Förutom den skalära summan av vektorer, har Distributivity en plats i fallet med subtraktion av vektorer. Slutligen, för det tredje, i skalärmultiplikation av vektorn till noll, resultatet kommer också att vara noll.

Sålunda, den euklidiska rymden - är den viktigaste geometriska begrepp som används för att lösa problem med det inbördes arrangemanget av vektorer i förhållande till varandra, för vars egenskaper sådant koncept används som den inre produkten.