Geometrisk progression. EXEMPEL till beslut

Tänk dig en rad.

7 28 112 448 1792 ...

Helt klart visar att värdet på någon av dess delar mer än de tidigare exakt fyra gånger. Så är den här serien en progression.

geometrisk progression kallas oändlig sekvens av siffror, av vilka är den viktigaste funktionen att följande nummer erhålls genom att multiplicera den tidigare i någon särskild figur. Detta uttrycks av följande formel.

_{en z 1 = a z · q} , där z - numret på den valda elementet.

I enlighet därmed, z ∈ N.

En tid då skolan studeras geometrisk progression - årskurs 9. Exempel kommer att hjälpa att förstå konceptet:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 2 ...

Baserat på denna formel, kan fortskridandet av nämnaren hittas på följande sätt:

Varken q, eller b för _z kan inte vara noll. Även vart och ett av elementen i en serie tal progression inte bör vara noll.

Således, för att se nästa nummer av ett antal, multiplicera den senare med q.

För att definiera denna utveckling måste du ange den första delen av den och nämnare. Därefter är det möjligt att hitta någon av följande medlemmar och deras belopp.

arter

Beroende på q och _{1 är} denna utveckling uppdelad i flera typer:

• Om en _1, och q är större än ett, då en sekvens - öka med varje efterföljande element av en geometrisk talföljd. Exempel därav beskrivs nedan.

Exempel: en ₁ = 3, q = 2 - större än ett, båda parametrarna.

Då en sekvens av siffror kan skrivas som:

3 6 12 24 48 ...

• Om | q | mindre än ett, dvs det är ekvivalent med multiplikation med division, progressionen med liknande förhållanden - minskande geometrisk progression. Exempel därav beskrivs nedan.

Exempel: en ₁ = 6, q = 1/3 - en _ett är större än ett, q - mindre.

Då en sekvens av siffror kan skrivas på följande sätt:

2 juni 2/3 ... - alla element fler element efter det, är 3 gånger.

• Omväxlande. Om q <0, tecken på antalet sekvens alternerande konstant oberoende av en _1, och elementen av någon ökning eller minskning.

Exempel: en ₁ = -3, q = -2 - båda är mindre än noll.

Då en sekvens av siffror kan skrivas som:

3, 6, -12, 24, ...

formeln

För bekväm användning, det finns många geometrisk funktion av formlerna:

• Formeln z: te termen. Det gör att beräkningen av element i ett visst antal utan att beräkna de tidigare siffrorna.

Exempel: q = 3, a = ₁ 4. krävs för att beräkna fjärdedel elementet progression.

Lösning: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Summan av de första elementen, vars antal är lika med z. Det möjliggör beräkning av summan av alla element i en sekvens till ett _z inklusive.

≠ 0, sålunda, är q inte 1 - (q 1) Eftersom (1- q) är i nämnaren, sedan.

Notera: om q = 1, då progressionen skulle ha representerat ett antal oändligt upprepa nummer.

Belopp exponentiellt exempel: en ₁ = 2, q = -2. Beräkna S _5.

Lösning: S ₅ = 22 - beräkningsformel.

• Beloppet om | q | <1 och när z går mot oändligheten.

Exempel: en ₁ = _2, q = 0,5. Hitta summan.

Lösning: S _z = 2 x = 4

Om vi beräknar summan av flera medlemmar av handboken kommer du att se att det verkligen strävar efter att fyra.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0125 + 0,0625 = 3,9375 4

Vissa egenskaper:

• En karakteristisk egenskap. Om följande villkor Det gäller för alla z, sedan ges en numerisk serie - en geometrisk progression:

ett _z ² = A _{z -1} · En _{z + 1}

• Det är också kvadraten av alla nummer är exponentiellt med hjälp av tillsats av kvadraterna av de andra två nummer i någon given rad, om de är på samma avstånd från elementet.

² en _z = en _{z - t} ² ₊ a _z + _t ² där t - avståndet mellan dessa nummer.

• Elementen skiljer sig med q gånger.
• Logaritmerna av elementen i progression såväl bildar en progression, men aritmetik, som är, var och en av dem mer än den tidigare med ett visst antal.

Exempel på några klassiska problem

För att bättre förstå vad en geometrisk progression, med besluts exempel för årskurs 9 kan hjälpa.

• Villkor: ₁ = 3, ₃ = 48. Find q.

Lösning: varje efterföljande inslag i mer än föregående q tid. Det är nödvändigt att uttrycka vissa delar genom andra via nämnare.

Följaktligen, en ₃ = q ² · en _en

När man substituerar q = 4

• Villkor: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Beräkna S _6.

Lösning: För att göra detta räcker det att hitta q, det första elementet och ersätta i formeln.

en ₃ = q · en _2, följaktligen, q = 2

en ₂ = q · A _1, så a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Hitta det fjärde elementet av progression.

Lösning: det räcker med att uttrycka det fjärde elementet genom den första och genom nämnare.

₄ en ³ = q · a = ₁ -80

Användningsexempel:

• Bank-klienten har bidragit summan av 10.000 rubel, enligt vilket varje år klienten till kapitalbeloppet kommer att läggas 6% av det ändå. Hur mycket pengar är på kontot efter 4 år?

Lösning: Den initiala mängd lika med 10 tusen rubel. Så kommer ett år efter investeringarna på kontot vara belopp som motsvarar 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Således beloppet på kontot även efter ett år kommer att uttryckas på följande sätt:

(10 tusen · 1,06) · 10 tusen · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 tusen

Det vill säga, varje år mängden ökat till 1,06 gånger. Därför, för att finna numret på kontot efter 4 år är det tillräckligt att hitta fjärdedel elementet progression, som ges första elementet lika med 10 tusen, och nämnaren är lika med 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10 tusen = 12625

Exempel på problem i beräkningen av summan av:

I olika problem med hjälp av geometrisk progression. Ett exempel på att finna summan kan ställas in enligt följande:

en ₁ = 4, q = 2, beräkna S _5.

Lösning: alla uppgifter som krävs för beräkningen är kända, helt enkelt ersätta dem i formel.

S ₅ = 124

• en ₂ = 6, a = ₃ 18. Beräkna summan av de första sex element.

lösning:

Den Geom. utvecklingen av varje element i nästa större än de tidigare q gånger, det vill säga för att beräkna det belopp du behöver veta elementet ₁ och nämnaren q.

a ₂ · q = a ₃

q = 3

På samma sätt, behovet av att hitta en _en, en _två och veta q.

en _en · q = a ₂

en ₁ = 2

Och sedan räcker det att ersätta de kända data i formeln beloppet.

S ₆ = 728.