Skillnader - vad är detta? Hur man hittar differential av funktionen?

Tillsammans med derivat deras funktioner skillnader - IT några av de grundläggande begreppen i differentialkalkyl, huvudsektionen av matematisk analys. Som oupplösligt förenade, både av dem flera århundraden används i stor utsträckning för att lösa nästan alla problem som uppstod i samband med vetenskaplig och teknisk verksamhet.

Framväxten av begreppet differential

För första gången gjorde det klart att en sådan differential, en av grundarna (tillsammans med Isaakom Nyutonom) differentialkalkyl berömda tyska matematiker Gotfrid Vilgelm Leybnits. Innan dess matematiker 17th century. används mycket oklar och vag uppfattning om några infinitesimal "odelade" av någon känd funktion, som representerar en mycket liten konstant värde men inte lika med noll, under vilka värden funktionen kan inte vara helt enkelt. Därför var det bara ett steg till införandet av begreppen oändligt steg om funktionsargument och deras respektive ökningar av de funktioner som kan uttryckas i termer av derivat av den senare. Och detta steg togs nästan samtidigt ovanstående två stora vetenskapsmän.

Baserat på behovet av att ta itu med akuta praktiska mekaniska problem som konfronterar vetenskapen utvecklas snabbt industri och teknik, Newton och Leibniz skapade vanligaste sätten att hitta funktionerna i förändringstakten (särskilt när det gäller den mekaniska hastigheten på kroppen av den kända bana), vilket ledde till införandet av sådana begrepp, som derivatfunktionen och differential, och fann också de algoritm inversa problemlösningar som är kända per se (variabel) hastigheter korsas för att finna den väg som har lett till begreppet integrerad Ala.

I verk av Leibniz och Newtons idé först visade det sig att skillnaderna - är proportionell mot ökningen av de grundläggande argumenten Ah ökar AU funktioner som kan med framgång tillämpas för att beräkna värdet av den senare. Med andra ord, har de upptäckt att ett inkrement funktion kan vara vid varje punkt (inom dess domänen av definition) uttrycks genom dess derivat såväl Au = y '(x) Ah + αΔh där α Ah - resten, som tenderar till noll som Ah → 0, mycket snabbare än den verkliga Ah.

Enligt grundarna av matematisk analys, differential - det är precis den första termen i steg om någon funktion. Även utan att ha en klart definierad gräns konceptsekvenser förstås intuitivt att differentialvärdet av derivatet tenderar att fungera när Ah → 0 - Au / Ah → y '(x).

Till skillnad från Newton, som i första hand var en fysiker och matematisk apparat anses vara ett hjälpverktyg för studier av fysiska problem, Leibniz betalat mer uppmärksamhet åt denna verktygslåda, inklusive ett system för visuella och begripliga symboler matematiska värden. Det var han som föreslog standardnotation av differentialer funktion dy = y '(x) dx, dx, och derivatan av argumentet funktion som deras förhållande y' (x) = dy / dx.

Den moderna definitionen

Vad är skillnaden i termer av modern matematik? Det är nära besläktat med begreppet en variabel steg. Om variabeln y tar ett första värde på y y = _1, då y = y _2, är skillnaden y ₂ ─ y ₁ kallas ökningsvärdet y. Ökningen kan vara positivt. negativa och noll. Ordet "inkrement" skall klassificeras Δ, Au inspelning (läs 'delta y') betecknar värdet på inkrementet y. så Au = y ₂ ─ y _1.

Om värdet Au godtycklig funktion y = f (x) kan representeras som Au = A Ah + α, där A är inget beroende på Ah, t. E. En = konst för den givna x, och termen α när Ah → 0 tenderar att det är ännu snabbare än den faktiska Ah, då den första ( "master") en term proportionell Ah, och är för y = f (x) differential, betecknad dy eller df (x) (läs "y de", "de eff från X"). Därför skillnader - en "main" linjär med avseende på komponenterna i steg om AH funktioner.

mekanisk förklaring

Låt s = f (t) - avståndet i en rak linje som rör sig materialpunkt från den initiala positionen (t - restid). Inkrement As - är det sätt punkten under ett tidsintervall At, och de differentiella ds = f '(t) At - denna väg, vilken punkt skulle hållas för samma tid At, om den kvarhålles hastigheten f' (t), nås vid tiden t . När en infinitesimal At ds imaginär bana skiljer sig från de faktiska As oändligt har en högre ordning med avseende på At. Om hastigheten vid tidpunkten t inte är lika med noll, de approximativa DS-värde ger liten förspänningspunkt.

geometrisk tolkning

Låt linjen L är grafen för y = f (x). Sedan Δ x = MQ, Au = QM '(se Fig. Nedan). Tangent MN bryter Au skuren i två delar, QN och NM'. Första och Ah är proportionell QN = MQ ∙ tg (vinkel QMN) = Ah f '(x), E QN är dy avvikelsen t..

Den andra delen av skillnaden Au NM'daet ─ dy, när Ah → 0 NM längd 'minskar ännu snabbare än ökningen av argumentet, dvs det har i storleksordningen litenhet högre än Ah. I detta fall, om f '(x) ≠ 0 (icke-parallella tangent OX) segment QM'i QN likvärdiga; med andra ord NM 'minskar snabbt (beslut av litenhet av dess högre) än den totala inkrement Au = QM'. Detta är tydligt i figur (närmar sig segmentet M'k M NM'sostavlyaet alla mindre andel QM 'segment).

Så, grafiskt differentiell godtycklig funktion är lika med ökningen av ordinatan för tangenten.

Derivat och differentiell

En faktor i den första termen av uttryck inkrement funktion är lika med värdet av dess derivat f '(x). Sålunda, följande relation - dy = f '(x) Ah eller df (x) = f' (x) Ah.

Det är känt att ökningen av den oberoende argumentet är lika med dess differentiella Ah = dx. I enlighet därmed, kan vi skriva: f '(x) dx = dy.

Att hitta (ibland sägs vara "beslut") skillnader utförs av samma regler som för derivaten. En lista över dem ges nedan.

Vad är mer universellt: ökningen av argumentet eller dess differential

Här är det nödvändigt att göra några förtydliganden. Representation värdet f '(x) avvikelsen Ah möjligt när man överväger x som ett argument. Men funktionen kan vara en komplicerad, där X kan vara en funktion av argumentet t. Då representationen av det differentiella uttrycket av f '(x) Ah, som regel, är det omöjligt; utom i fallet med linjära beroendet x = at + b.

Som formeln f '(x) dx = dy, därefter i fallet med oberoende argument x (då dx = Ah) i fallet med den parametriska beroendet av x t, är det differential.

Till exempel, är uttrycket 2 x Ah för y = x ² dess differentiella när x är ett argument. Vi har nu x = ^t2 och ta t argument. Då y = x ² = t ^4.

Detta följs av (t + At) ² = t ² + 2tΔt + At ^2. Hence Ah = 2tΔt + At ^2. Hence: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Detta uttryck är inte proportionell mot At och därför är nu 2xΔh inte differential. Det kan finnas från ekvationen y = x ² = t ^4. Den är lika dy = 4t ³ At.

Om vi tar uttrycket 2xdx, är det differential y = x ² för något argument t. Indeed, när x = t ² erhålla dx = 2tΔt.

Så 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ At, t. E. Expressionsskillnader som registrerats av två olika variabler sammanfaller.

Ersätter steg om differentialer

Om f '(x) ≠ 0, sedan Au och dy ekvivalent (när Ah → 0); om f '(x) = 0 (innebörd och dy = 0), är de inte ekvivalenta.

Till exempel, om y = x ^2, därefter Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² och dy = 2xΔh. Om x = 3, då har vi Au = 6Δh + Ah ² och dy = 6Δh som är ekvivalenta på grund Ah ² → 0, när x = 0 värde Au = Ah ² och dy = 0 inte är likvärdiga.

Detta faktum, tillsammans med enkla strukturen hos differential (m. E. Linjäritet med avseende på Ah), används ofta i ungefärlig beräkning, på antagandet att Au ≈ dy för små Ah. Hitta differentialfunktionen är oftast lättare än att beräkna det exakta värdet av ökningen.

Till exempel, har vi metallisk kub med kant x = 10,00 cm. Vid uppvärmning kanten förlängas på Ah = 0,001 cm. Hur ökad volym kub V? Vi har V = x ^2, så att dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ 0 10 ^2/01 = 3 (cm ^3). Ökade AV ekvivalent differential dV, så att AV = 3 cm ^3. Full beräkning skulle ge ³ AV = 10,01 ─ ¹⁰ mars = 3,003001. Men resultatet av alla siffror utom den första opålitliga; Därför, är det fortfarande nödvändigt att avrunda upp till 3 cm ^3.

Uppenbarligen är detta tillvägagångssätt användbar endast om det är möjligt att uppskatta värdet bibringas fel.

Differentialfunktion: exempel

Låt oss försöka hitta differentialen av funktionen y = x ^3, hitta derivatan. Låt oss ge argumentet ökning Au och definiera.

Au = (Ah + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Ah (Ah 3xΔh ² + ^3).

Här, betyder koefficienten A = 3x ² inte beroende av Ah, så att den första termen är proportionell Ah, den andra medlemmen 3xΔh Ah ² + ³ när Ah → 0 minskar snabbare än ökningen av argumentet. Följaktligen, är en medlem av 3x ² Ah differentialen av y = x ^3:

dy = 3x ² Ah = 3x ² dx eller d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Vari d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy vi nu befinner funktionen y = 1 / x av derivat. Då d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Därför dy = ─ Ah / x ^2.

Skillnader grundläggande algebraiska funktioner anges nedan.

Approximativa beräkningar med differentiell

För att utvärdera funktionen f (x), och dess derivat f '(x) vid x = a är ofta svårt, men att göra samma sak i närheten av x = a är inte lätt. Sedan kommer till hjälp av den ungefärliga uttryck

f (a + Ah) ≈ f '(a) Ah + f (a).

Detta ger ett ungefärligt värde av funktionen vid små steg genom dess differentiella Ah f '(a) Ah.

Därför ger denna formel ett approximativt uttryck för funktionen vid slutpunkten av en del av en längd Ah som en summa av sitt värde vid startpunkten av delen (x = a) och skillnaden i samma utgångspunkt. Noggrannheten av metoden för att bestämma värdena hos funktionen nedan illustrerar ritningen.

Emellertid känd och den exakta uttryck för värdet av funktionen x = a + Ah ges av formel ändliga inkrement (eller, alternativt, Lagranges formel)

f (a + Ah) ≈ f '(ξ) Ah + f (a),

där punkten x = a + ξ är i intervallet från x = a till x = a + Ah, även om dess exakta position är okänd. Den exakta formeln gör det möjligt att utvärdera felet hos den ungefärliga formel. Om vi sätter i Lagrange formel ξ = Ah / 2, även om det upphör att vara exakt, men ger som regel en mycket bättre metod än det ursprungliga uttrycket när det gäller differentialen.

Utvärderings formler fel genom att anbringa differential

Mätinstrument i princip felaktig, och ta med till mätdata som motsvarar felet. De kännetecknas genom att begränsa den absoluta felet, eller, kort sagt, den gräns felet - positiva, klart överstiger felet i absolut värde (eller som mest lika med det). Begränsande det relativa felet kallas den kvot som erhålls genom att dividera den med det absoluta värdet av det uppmätta värdet.

Låt exakta formeln y = f (x) funktion som används för att vychislyaeniya y, men värdet av x är mätresultatet, och därför ger y felet. Sedan, för att hitta den begränsande absoluta felet │Δu│funktsii y, med användning av formeln

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

där │Δh│yavlyaetsya marginell fel argument. │Δu│ Mängden skall avrundas uppåt, såsom felaktig beräkning i sig är ersättandet av ökningen på beräkningen skillnaden.