Ett system av linjära algebraiska ekvationer. Homogent system av linjära algebraiska ekvationer

I skolan var och en av oss studerade ekvationen och, förvisso, ekvationssystemet. Men inte många vet att det finns flera sätt att lösa dem. Idag kommer vi att se exakt alla metoder för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer, som består av mer än två ekvationer.

berättelse

Idag vet vi att konsten att lösa ekvationer och deras system har sitt ursprung i det antika Babylon och Egypten. Men jämställdhet i sin välbekanta formen föreföll oss efter förekomsten av likhetstecknet "=", som infördes 1556 av engelsk matematiker rekord. Förresten, var detta symbolen som valts för en anledning: det betyder två parallella lika segment. Faktum är att det bästa exemplet på jämställdhet inte kommer upp.

Grundaren av modern bokstäver och symboler av okänd omfattning, den franske matematikern Fransua Viet. Dock är dess beteckning avsevärt skiljer sig från dagens. Till exempel, en kvadrat med ett okänt antal han betecknas med bokstaven Q (lat "ratus".), Och kuben - (. Lat "Cubus") bokstaven C. Dessa symboler verkar nu obehagligt, men då var det mest intuitiva sättet att skriva ett system av linjära algebraiska ekvationer.

Emellertid en nackdel i de rådande metoder för lösningen var som matematiker har beaktas endast de positiva rötter. Kanske beror på det faktum att negativa värden inte har någon praktisk tillämpning. Ett eller annat sätt, men det första som skall beaktas negativa rötter började efter de italienska matematik Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano och Raphael Bombelli på 16-talet. Ett modernt utseende, den huvudsakliga metoden för att lösa andragradsekvationer (genom diskriminant) bildades endast i 17-talet genom verk av Descartes och Newton.

I mitten av 18-talet schweiziska matematikern Gabriel Cramer hittat ett nytt sätt att göra lösningen av linjära ekvationssystem lättare. Denna metod har senare uppkallad efter honom, och i dag vi använder den. Men metoden för Kramers prata lite senare, men nu kommer vi att diskutera linjära ekvationer och deras lösningar separat från systemet.

linjära ekvationer

Linjära ekvationer - den enklaste ekvation med variabel (er). De tillhör den algebraiska. Linjära ekvationer skrivna i den generella formen som följer: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... och _n * x _n = b. Inlämning av denna form kommer vi att behöva i beredningen av system och matriser på.

Ett system av linjära algebraiska ekvationer

Definitionen av denna term är: en uppsättning ekvationer som har gemensamma okända och den allmänna lösningen. Vanligtvis, i skolan hela löste ett system med två eller tre ekvationer. Men det finns system med fyra eller flera komponenter. Låt oss se först hur man skriver ner dem så att senare var det praktiskt att lösa. För det första kommer systemet med linjära algebraiska ekvationer ser bättre om alla variabler skrivs som x med motsvarande index: 1,2,3 och så vidare. För det andra bör det leda alla ekvationerna till den kanoniska formen: en ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... och _n * x _n = b.

Efter alla dessa steg kan vi börja berätta om hur man hittar en lösning av linjära ekvationssystem. Mycket för som kommer att komma till hands matris.

matris

Matrix - en tabell som består av rader och kolumner, och dess delar är som korsning. Detta kan antingen vara ett specifikt värde eller variabel. I de flesta fall, för att beteckna element som är anordnade under indexen (t ex en ₁₁ eller ₂₃ också). Det första indexet anger radnumret, och den andra - kolonnen. Ovanstående matriser som ovan och alla andra matematiska elementet kan utföra olika operationer. Således kan du:

1) Subtrahera och lägga till samma storlek i tabellen.

2) Multiplicera matrisen till vilket som helst antal eller vektor.

3) Införliva: transformmatrisledningar i kolonnerna, och kolonnerna - i linje.

4) Multiplicera matrisen, om antalet rader är lika med en av dem ett annat antal kolumner.

Att i detalj diskutera alla dessa tekniker, eftersom de är användbara för oss i framtiden. Subtraktion och tillägg av matriser är mycket enkel. Eftersom vi tar samma storlek matrisen är varje element i en tabell relaterad till varannan element. Således lägger vi (subtrahera) två av dessa element (det är viktigt att de stod på samma plats i sina matriser). När den multipliceras med antalet matris eller vektor multiplicerar du helt enkelt varje element i matrisen genom det numret (eller vektor). Införlivande - en mycket intressant process. Mycket intressant ibland att se honom i verkliga livet, till exempel vid byte av inriktning av en tablett eller telefon. Ikonerna på skrivbordet är en matris, och med en förändring av position, är det införlivas och blir bredare, men minskar i höjd.

Låt oss undersöka mer en process som matrismultiplikation. Även om han berättade för oss, och är inte användbart, men vara medvetna om det fortfarande är användbart. Multiplicera två Matriserna kan vara endast under förutsättning att antalet kolumner i en tabell är lika med antalet andra rader. Nu tar en matris linjeelement och andra element i motsvarande kolumn. Multiplicera dem med varandra och därefter summan (dvs, till exempel, en produkt av elementen ₁₁ och ₁₂ och vid ₁₂ b och ₂₂ b att vara lika med: a * b _{11 12} + ₁₂ * b och _22). Således är en enda tabell objekt, och en metod som liknar den fyllde ytterligare.

Nu kan vi börja tänka på hur man ska lösa linjära ekvationssystem.

Gauss

Detta tema började ske i skolan. Vi vet mycket väl begreppet "system av två linjära ekvationer" och vet hur man löser dem. Men vad händer om antalet ekvationer är större än två? Detta kommer att hjälpa oss Gauss metod.

Naturligtvis är denna metod bekväm att använda, om du gör en matris av systemet. Men du kan inte konvertera den och besluta på egen hand.

Så, hur man kan lösa det genom ett system av linjära ekvationssystem Gauss? Förresten, även om denna metod och uppkallad efter honom, men upptäckte det i gamla tider. Gauss har en operation som utförs med ekvationerna, för att så småningom resultera i totaliteten till trappstegsform. Det vill säga, du behöver top-down (om rätt plats) från den första till den sista ekvationen avtog en okänd. Med andra ord måste vi se till att vi har, säger, tre ekvationer: Den första - tre okända, i den andra - två i den tredje - en. Därefter, från den sista ekvationen, finner vi den första okända, ersätta dess värde i den andra eller den första ekvationen, och ytterligare hitta de återstående två variabler.

Cramers regel

För utvecklingen av denna teknik är avgörande för att behärska kompetensen hos addition, subtraktion av matriser, liksom behovet av att kunna hitta bestämningsfaktorer. Därför, om du är obekväma att göra allt detta eller inte vet hur, är det nödvändigt att lära sig och utbildas.

Vad är kärnan i denna metod, och hur man gör det, för att få ett system av linjära ekvations Cramer? Det är väldigt enkelt. Vi måste bygga en matris av siffror (nästan alltid) koefficienterna i ett system av linjära algebraiska ekvationer. För att göra detta, helt enkelt ta numret för det okända, och vi ordna en tabell i den ordning som de registreras i systemet. Om innan numret är ett tecken på "-" och sedan skriva vi negativ koefficient. Så gjorde vi den första matrisen av koefficienterna de okända, inte inklusive antalet efter likhetstecknet (naturligtvis, att ekvationen måste reduceras till den kanoniska formen när rätten är bara ett nummer och vänster - alla okända med koefficienter). Då måste du göra några matriser - en för varje variabel. För detta ändamål, i den första matrisen är ersatt med en kolumn varje kolumnnummer med koefficienterna efter likhetstecknet. Således får vi några matriser och sedan hitta sina bestämningsfaktorer.

När vi hittade kval är det små. Vi har en initial matris, och det finns flera härledda matriser, som motsvarar olika variabler. För att få en systemlösning, delar vi determinanten av den resulterande tabellen på den primära faktorn i tabellen. Det resulterande talet är värdet av en variabel. På samma sätt finner vi alla okända.

andra metoder

Det finns flera metoder för att erhålla lösningen av system av linjära ekvationer. Till exempel, av så kallade Gauss-Jordan metod, som används för att hitta lösningar av systemet med gradsekvationer, och avser även användningen av matriserna. Det finns också en Jacobi metod för att lösa ett system av linjära algebraiska ekvationer. Han anpassar sig lätt till alla datorer och används vid beräkning.

komplicerade fall

Komplexitet uppstår oftast om antalet ekvationer är mindre än antalet variabler. Då kan vi verkligen säga det, eller systemet är inkonsekvent (dvs inte har några rötter), eller antalet beslut går mot oändligheten. Om vi har det andra fallet - är det nödvändigt att skriva den allmänna lösningen av linjära ekvationssystem. Det kommer att omfatta åtminstone en variabel.

slutsats

Här kommer vi till slutet. För att sammanfatta: Vi måste förstå vad systemmatrisen, lärt sig att hitta den allmänna lösningen av ett linjärt ekvationssystem. Dessutom ansåg vi andra alternativ. Vi tänkte ut hur man ska lösa linjära ekvationssystem: Gausselimination och Cramers regel. Vi pratade om svåra fall och andra sätt att hitta lösningar.

I själva verket är denna fråga mycket mer omfattande, och om du vill att bättre förstå det, råder vi dig att läsa mer av facklitteratur.