Hur beräknas pyramidens volym?

Ordet "pyramid" är ofrivilligt förknippad med de majestätiska jättarna i Egypten, som trogen håller freden hos faraonerna. Kanske är det därför pyramiden som en geometrisk figur erkänns omedvetet av alla, till och med barn.

Ändå försöker vi ge den en geometrisk definition. Vi representerar flera punkter (A1, A2, ..., An) på planet och en (E) som inte hör till den. Så, om punkten E (vertex) är ansluten till polygonens hörn som bildas av punkterna A1, A2, ..., An (bas), erhåller vi en polyhedron, som kallas en pyramid. Det är uppenbart att polygonens hörn vid pyramidens bas kan vara så många som du vill, och beroende på deras antal kan pyramiden kallas triangulär och fyrkantig, femkantig etc.

Om man tittar noggrant på pyramiden blir det tydligt varför det också definieras annorlunda - som en geometrisk figur som har en polygon vid basen, och trianglar förenas med ett gemensamt vertex som sidovägen.

Eftersom pyramiden är en rumslig figur har den också en sådan kvantitativ egenskap som volym. Pyramidens volym beräknas enligt den välkända volymprocenten som motsvarar en tredjedel av produkten av pyramidens bas vid dess höjd:

Volymen av pyramiden i derivatet av formeln beräknas initialt för trianguläret och baseras på ett konstant förhållande som förbinder denna kvantitet med volymen av ett triangulärt prisma med samma bas och höjd som, som det visar sig, är tre gånger så stor volym.

Och eftersom någon pyramid är uppdelad i trekantig, och dess volym inte beror på konstruktionerna som utförts i beviset, är giltigheten för den reducerade volymen formel uppenbar.

Bortsett från alla pyramiderna finns det vanliga, som har en regelbunden polygon vid basen . När det gäller pyramidens höjd måste den "sluta" i mitten av basen.

I fallet med en oregelbunden polygon vid basen krävs beräkningen av basområdet:

• Bryt den i trianglar och kvadrater;

• Att beräkna arean för var och en av dem;

• Lägg till mottagna data.

I fallet med en vanlig polygon vid pyramidens bas beräknas området med färdiga formler, så volymen av den vanliga pyramiden beräknas helt enkelt.

Om du till exempel räknar volymen på en fyrkantig pyramid, rita längden på sidan av den högra fyrkanten (fyrkant) i basen i en kvadrat och multiplicera höjden av pyramiden, dela den resulterande produkten med tre.

Pyramidens volym kan beräknas med andra parametrar:

• Som en tredjedel av produkten av bollens radie inskriven i pyramiden är arean av dess fulla yta;

• Som två tredjedelar av produkten av avståndet mellan två godtyckligt korsade revben och området av parallellogrammet som bildar mitten av de återstående fyra kanterna.

Pyramidens volym beräknas enkelt och i fallet när dess höjd sammanfaller med en av sidokanterna, det vill säga i fallet med en rektangulär pyramid.

När vi talar om pyramiderna, kan vi inte ignorera de stympade pyramiderna som erhållits av pyramidens del parallellt med basplanet. Deras volym är nästan lika med skillnaden i volymerna i hela pyramiden och den avskurna vertexen.

Pyramidens första volym, men inte helt i sin moderna form, men likvärdigt med 1/3 volymen av det kända prisma, hittades av Democritus. Hans sätt att räkna Archimedes kallas "utan bevis", sedan Democritus närmade sig pyramiden som en figur bestående av oändligt tunna, liknande plattor.

När det gäller frågan om att hitta en pyramides volym, "vektoriserades" också vektorns algebra med hjälp av koordinaterna för dess hörn för detta. Pyramiden, konstruerad på en trippel av vektorer a, b, c, är en sjätte av modulen av den blandade produkten av givna vektorer.