Regelbunden polygon. Antalet sidor av en regelbunden polygon

Triangel, fyrkant, hexagon - Dessa siffror är kända för nästan alla. Men här som är en regelbunden polygon, inte vet alla. Men det är alla samma geometriska former. En regelbunden polygon kallas en som har lika stora vinklar mellan sig själva och den sida. Dessa siffror är många, men de har alla samma egenskaper, och gäller för dem samma formel.

Egenskaper hos regelbundna polygoner

Någon regelbunden polygon, vare sig offentlig oktagon, kan skrivas in i en cirkel. Denna grundläggande egenskap används ofta i konstruktionen av siffror. Dessutom kan cirkeln skrivas in i en polygon och. Antalet kontaktpunkter är lika med antalet av dess sidor. Det är också viktigt att cirkel inskriven i en regelbunden polygon kommer att ha med honom ett gemensamt centrum. Dessa geometriska figurer är föremål för en satser. Något parti korrekt n-gon är förbunden med radien av den cirkel runt den R. Därför kan den beräknas enligt följande formel: a = 2R ∙ sin180 °. Genom cirkelns radie kan hittas inte bara parterna utan också i ytterkanten av en polygon.

Hur man hittar antalet sidor av en regelbunden polygon

Någon regelbunden n-hörning är sammansatt av ett antal segment som är lika med varandra, vilket, när de kombineras, bildar en sluten linje. I detta fall, alla vinklar bildade formerna har samma värde. Polygoner är indelade i enkla och komplexa. Den första gruppen innefattar triangeln och kvadraten. Komplexa polygoner har ett större antal sidor. De har också en stjärnformad figur. I komplexa regelbundna polygon sidor hittas genom inskrivna dem i en cirkel. Här är beviset. Rita en regelbunden polygon med ett godtyckligt antal sidor n. Beskriv en cirkel runt honom. Ställ en radie R. Tänk dig nu att någon given n-gon. Om punkten av dess hörn ligger på en cirkel och lika med varandra, då handen kan hittas genom formeln: a = 2R ∙ sin a: 2.

Att hitta antalet sidor inskrivet liksidig triangel

Liksidig triangel - är en regelbunden polygon. Formel skall användas densamma som den av kvadraten, och n-gon. Triangle kommer att betraktas som giltigt om det har samma längs längden av den del. Vinklarna är lika 60⁰. Konstruera en triangel med sidor av förutbestämd längd a. Att känna sin median och höjd, kan du hitta värdet av dess sidor. För detta använder vi en metod för att hitta formeln genom en = x: cosa, där x - median- eller höjd. Eftersom alla parter är lika triangel, erhåller vi a = b = c. Sedan vara sann mot följande uttalande a = b = c = x: cosa. På samma sätt kan vi hitta värdet av parterna i en liksidig triangel, men kommer att ges x höjd. I detta fall är det beräknas vara strikt på grundval av siffrorna. Så, att veta höjden av x, hitta en sida av en likbent triangel med användning av formeln A = B = x: cosa. Efter att hitta värdena av en kan beräknas från längden av basen. Vi tillämpar sats av Pythagoras. Vi söker en bas halv värde c: 2 = √ (x: cosa) ^ 2 - (x 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Då c = 2xtgα. Det är den enkla sätt kan du hitta ett antal sidor av inskrivna polygon.

Beräkning av sidorna av kvadraten inskriven i en cirkel

Precis som alla andra regelbunden polygon inskrivet kvadrat har lika sidor och vinklar. Att den använder samma formel som den hos en triangel. Beräkna den sida av kvadraten är möjlig genom värdet på diagonalen. Överväga denna metod i närmare detalj. Det är känt att den diagonala bisects vinkeln. Inledningsvis dess värde var 90 grader. Sålunda, de två bildas efter att dividera den rektangulära triangeln. Deras vinklar vid basen kommer att vara lika med 45 grader. Följaktligen är varje sida av kvadraten lika, är att: a = b = c = d = e e√2 ∙ cosa = 2, där e - är diagonalen av en kvadrat eller en bas bildas efter uppdelning av en rektangulär triangel. Detta är inte det enda sättet att hitta sidorna i kvadraten. Inskriva figuren i en cirkel. Att känna till cirkelns radie R, finner vi riktningen av en kvadrat. Vi beräknar det följande a4 = R√2. Radierna för regelbundna polygoner beräknas ur formeln R = a: 2TG (360 ^o: 2n), där a - sidans längd.

Hur man beräknar omkretsen av n-gon

Omkretsen av n-gon är summan av alla dess sidor. Det är lätt att räkna ut. Du behöver veta värdena för alla parter. För vissa typer av polygoner, det finns särskilda formler. De tillåter dig att hitta omkretsen av mycket snabbare. Det är känt att någon regelbunden polygon har lika sidor. Därför, för att beräkna sin omkrets, räcker det att veta åtminstone en av dem. Formeln kommer att bero på antalet sidor hos formen. I allmänhet, ser det ut så här: R = en, där en - värde sidan, och n - antal vinklar. Till exempel, för att hitta omkretsen av en regelbunden oktagon med en sida på 3 cm, måste du multiplicera det med 8, det vill säga, P = 3 ∙ 8 = 24 cm för en hexagon med en sida av 5 cm beräknas enligt följande :. P = 5 ∙ 6 = 30 cm och så för. varje polygon.

Att hitta omkretsen av en parallellogram, kvadratiska och diamant

Beroende på hur många sidor gör en regelbunden polygon, beräkna dess omkrets. Detta underlättar avsevärt uppgiften. I själva verket, i motsats till andra delar, i detta fall inte behöver leta efter alla hans hand, tillräckligt för en. På samma princip är omkretsen av fyrsidiga, det vill säga, kvadratiska och diamant. Trots det faktum att de är olika siffror, formeln för vilka ett P = 4a, där en - sida. Här är ett exempel. Om en part är en kvadrat eller en romb 6 cm, finner vi omkrets följer: P = 4 ∙ 6 = 24 cm V parallellogram är endast motsatta riktningar .. Därför är dess omkrets med en annan metod. Så måste vi veta längden och bredden av en figur. Sedan tillämpa vi formeln P = (a + b) ∙ 2. parallellogram vars sidor alla lika och vinklarna mellan dem, som kallas diamant.

Finna omkretsen av en liksidig triangel och rektangulära

Omkrets höger liksidig triangel kan finnas från formeln P = 3a, där en - sidans längd. Om det är okänt, kan det hittas genom medianen. I en rätvinklig triangel är lika med värdet är bara två sidor. Basen kan hittas genom Pythagoras sats. Efter vet värdena för alla tre parter, vi beräknar omkretsen. Det kan hittas med hjälp av formeln R = a + b + c, där a och b - lika sidor, och med - en bas. Minns att i en liksidig triangel, a = b = a, då a + b = 2a, då P = 2a + c. Till exempel, är den sida av en likbent triangel är lika med 4 cm, hitta dess bas och omkrets. Beräkna värdet Pythagoras hypotenusan med √a = ² + ² = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm. Vi har nu beräkna omkrets P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Hur man hittar vinklarna i en regelbunden polygon

En regelbunden polygon finns i våra liv varje dag, till exempel den vanliga fyrkant, triangel, oktagon. Det verkar som om det finns inget enklare än att bygga denna pjäs själv. Men det är bara vid första anblicken. För att bygga någon n-gon, är det nödvändigt att veta värdet på sina vinklar. Men hur hittar man dem? Även gamla forskare har försökt att bygga regelbundna polygoner. De tänkte att passa in dem i en cirkel. Och sedan på det noterar behovet att peka, koppla samman dem med raka linjer. problemet var löst för att bygga enkla former. Formler och satser erhölls. Till exempel Euklides i hans berömda verk "Home" för lösning av problemen i 3-, 4-, 5-, 6- och 15-hörningar. Han hittat sätt att bygga och hitta vinklarna. Låt oss se hur man gör det för 15-gon. Först måste du räkna ut summan av dess inre vinklar. Det är nödvändigt att använda formeln S = 180⁰ (n-2). Så, får vi en 15-gon, därav, att antalet n är 15. Substituering de kända data och erhålla formeln S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Vi hittade summan av alla inre vinklar av en 15-sidig polygon. Nu måste du få värdet för var och en av dem. Alla vinklar 15 göra beräkningar 2340⁰: 15 = 156⁰. Följaktligen är varje intern vinkel 156⁰, nu med en linjal och kompass kan konstruera den korrekta 15-gon. Men hur mer komplexa n-gon? Många århundraden forskare har kämpat för att lösa detta problem. Det konstaterades endast i den 18: e-talet av Carl Fridrihom Gaussom. Han kunde bygga en 65537 kvadratmeter. Sedan dess har problemet är officiellt anses helt löst.

Beräkning av n-gon vinkel i radianer

Naturligtvis finns det flera sätt att hitta vinklar polygoner. Oftast beräknas i grader. Men vi kan uttrycka dem i radianer. Hur man gör det? Gör så här. Först vi reda på antalet sidor av en regelbunden polygon, och sedan subtrahera därifrån 2. Därför får vi värdet: n - 2. Multiplicera den konstaterade skillnaden med antalet n ( "pi" = 3,14). Nu kan du bara dela denna produkt med antalet hörn i n-gon. Tänk till exempel på beräkning av de uppgifter av samma pyatnadtsatiugolnika. Sålunda är antalet n är lika med 15. Vi tillämpa formeln S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Detta är naturligtvis inte det enda sättet att beräkna vinkeln i radianer. Du kan helt enkelt dela storleken på en vinkel i grader med antalet 57,3. När allt kommer omkring är så många grader motsvarar en radian.

Beräkning av vinklar i grads

Förutom grader och radianer, vinklar av en regelbunden polygon, kan du försöka hitta värdet i grader. Detta sker på följande sätt. Vi subtrahera från de totala antalet 2 vinklar, dividera skillnaden med antalet sidor av en regelbunden polygon. Fann resultatet multipliceras med 200. Förresten, denna enhet av mätning av vinklar som grads, knappast används.

Beräkning av yttervinklar n-gon

Alla regelbunden polygon, förutom inhemska, vi kan också beräkna den yttre hörnet. Dess värde är densamma som för de andra figurerna. Så, för att hitta en extern vinkel av en regelbunden polygon, måste du vet värdet av interna. Vidare vet vi att summan av dessa två vinklar är alltid 180 grader. Därför är beräkningen görs enligt följande: 180⁰ minus det inre hörnet. Vi kan se skillnaden. Det kommer att vara värdet av vinkeln i anslutning till det. Till exempel, är det inre hörnet av fyrkanten 90 grader, då utseendet blir 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Som vi kan se, är det lätt att hitta. Extern vinkeln kan anta ett värde från + 180⁰ till, respektive, -180⁰.