Rötterna till en andragradsekvation: algebraiska och geometriska innebörden

I algebra fyrkant kallas en andra ordningens ekvation. Av ekvation antyda ett matematiskt uttryck, som i sin sammansättning av en eller flera okända. Andra ordningens ekvation - en matematisk ekvation som har minst en okänd i kvadratgrad. Den kvadratiska ekvationen - andra ordningens ekvation som visas identitet att betyda lika med noll. Lös ekvationen torget är densamma som bestämmer kvadratrötterna av ekvationen. Typisk kvadratisk ekvation i den allmänna formen:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

vari W, T - koefficienterna för rötterna av den kvadratiska ekvationen;

O - fri koefficient;

c - roten av den kvadratiska ekvationen (alltid har två värden c1 och c2).

Som redan nämnts, problemet att lösa en andragradsekvation - hitta rötterna till en andragradsekvation. För att hitta dem, måste du hitta en diskriminant:

N = T ^ till 2 - 4 * B * O

Diskriminanten formler som behövs för att hitta lösningar rot C1 och C2:

c1 = (-T + Vn) / 2 * W och c2 = (-T - Vn) / 2 * W

Om andragradsekvation för den allmänna formfaktor vid roten av T har en multipel värde är ekvationen ersättas med följande:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Och dess rötter ser ut uttrycket:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W och c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Ofta ekvation kan ha ett något annorlunda utseende när C_2 kan ha någon koefficient W. I detta fall har ovanstående ekvation formen:

c ^ 2 + F * c + L = 0

där F - faktor vid roten;

L - fri faktor;

c - roten av kvadraten (alltid har två värden c1 och c2).

Den här typen av ekvation kallas en andragradsekvation ges. Namnet "reducerad" gick från formeln manövrering typisk kvadratisk ekvation, om koefficienten W rot har ett värde av ett. I det här fallet, rötter den kvadratiska ekvationen:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] och c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

I fallet med jämna värden på koefficienten för F rotar kommer att ha en lösning:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

Om vi talar om andragradsekvationer, är det nödvändigt att påminna om sats Vieta. Det sägs att följande lagar för den minskade andragradsekvation:

c ^ 2 + F * c + L = 0

C1 + C2 = -F och c1 * c2 = L

I allmänhet andragradsekvation andragradsekvation rötter är relaterade beroenden:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

C1 + C2 = -T / W och c1 * c2 = O / V

Nu överväga alternativ för andragradsekvationer och deras lösningar. Alla av dem kan vara två, som om en medlem av c_2 saknas, är sedan ekvationen inte vara fyrkantig. därför:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 av den kvadratiska ekvationen utföringsformen utan fri faktor (medlem).

Lösningen är:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 av den kvadratiska ekvationen utföringsformen utan den andra termen, när samma modulo rötterna till den kvadratiska ekvationen.

Lösningen är:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Allt detta var algebra. Betrakta den geometriska innebörden av som har en andragradsekvation. den andra ordningens ekvation i geometrin beskrivs av en parabel funktion. ganska ofta uppgift är att hitta rötterna till en andragradsekvation för gymnasieelever? Dessa rötter ger begreppet om hur man skär graffunktionen (parabel) med koordinataxeln - horisontell. Om, efter att ha beslutat andragradsekvation, får vi det irrationella beslut av rötterna, då korsningen inte. Om roten har en fysisk värde, korsar funktionen x-axeln på ett ställe. Om de två rötter, då respektive - två skärningspunkter.

Det är värt att notera att under de irrationella rötter innebär ett negativt värde under roten, vid roten slutsats. Fysisk värde - något positivt eller negativt värde. När det gäller att hitta en enda rot innebär att rötterna av samma. Orienteringen av kurvan i ett kartesiskt koordinatsystem kan också i förväg har fastställt koefficienterna W rötter och T. Om W har ett positivt värde, är de två grenarna av parabeln riktad uppåt. Om W har ett negativt värde, - nedåt. Också, om koefficienten B har ett positivt tecken, vari W är också positiv, är vertex av parabeln funktion inom "y" från "-" till oändligheten "+" oändlighet, "c" i intervallet minus oändligheten till noll. Om T - positivt värde, och W - är negativt, på andra sidan av abskissan.