Derivat nummer: beräkningsmetoder och exempel

Kanske begreppet derivat är bekant för oss alla sedan high school. Vanligtvis eleverna har svårt att förstå detta är utan tvekan en mycket viktig sak. Det används aktivt inom olika områden av människors liv, och många ingenjörsbaserades just på matematiska beräkningar som erhållits genom derivat. Men innan du fortsätter till en analys av vad som är ett derivat av siffror som de beräkna och där de kommer att komma väl till pass, gräva lite i historien.

berättelse

Begreppet derivat, vilket är grunden för matematisk analys, var öppen (ännu bättre att säga "uppfann" eftersom det är som sådan inte existerar i naturen) Isaakom Nyutonom som vi alla vet från upptäckten av tyngdlagen. Det var han som först använde detta koncept i fysik för bindande av hastighet och acceleration av kroppar. Och många forskare fortfarande prisa Newton för denna magnifika uppfinning, eftersom det i själva verket han uppfann grundval av differential och integralkalkyl, den faktiska grunden för hela området för matematiken som kallas "matematisk analys". Vare sig vid den tidpunkt då Nobelpriset, Newton troligen skulle ha fått det några gånger.

Inte utan andra stora sinnen. Förutom Newton på utvecklingen av derivata och integrerade arbetade sådana framstående genier matematik som Leonhard Euler, Lagrange och Louis Gotfrid Leybnits. Det är tack vare dem vi har teorin om differentialkalkyl i den form som det förekommer i dag. Detta är för övrigt Leibniz upptäckte geometriska innebörden av derivat, vilket var något mer än lutningen på tangenten till grafen av funktionen.

Vad är ett derivat av siffror? Bit upprepa vad som hände i skolan.

Vad är ett derivat?

Definiera detta begrepp på flera olika sätt. Den enklaste förklaringen: Derivat - det är förändringstakten funktion. Representerar grafen av någon funktion y för x. Om det inte är rak, den har några kurvor i diagrammet, perioder av ökning och minskning. Om du tar något oändligt intervall av schemat, kommer det att vara en rak linje segment. Så kan förhållandet mellan storleken på en oändligt liten segment av y till storleken på x-koordinaten, och kommer att vara ett derivat av funktionen i en given punkt. Om vi betraktar funktionen som en helhet, snarare än vid en specifik punkt, erhåller vi en funktion av derivatet, dvs en viss beroende på X y.

Dessutom, förutom den fysiska innebörden av derivatet som en funktion av ändringshastigheten, finns det också en geometrisk mening. På det vi nu diskuterar.

Den geometriska betydelsen

Derivat siffror själva är ett visst antal som inte är en riktig förståelse inte bär någon mening. Det visar sig att derivatet inte bara visar tillväxthastigheten eller minska funktionen, och lutningen av tangenten till grafen av funktionen vid denna punkt. Inte helt klar definition. Låt oss undersöka den i detalj. Antag att vi har en graf över en funktion (för att ta räntekurvan). Den har ett oändligt antal punkter, men det finns områden där endast en enda punkt har en maximum eller minimum. Genom en sådan punkt, kan du dra en rak linje, vilket skulle vara vinkelrät mot grafen av funktionen på den punkten. Denna linje kommer att kallas en tangent. Antag att vi höll upp till korsningen med axeln OX. Så erhållna mellan tangenten och axeln OX och vinkel kommer att bestämmas av derivatet. Mer specifikt kommer tangenten av denna vinkel vara lika med den.

Låt oss tala lite om de särskilda fall och derivat Låt oss undersöka siffrorna.

special~~POS=TRUNC fall~~POS=HEADCOMP

Som vi redan har nämnt, derivat av siffror - ett derivat värde vid en viss punkt. Här, till exempel, ta funktionen y = x ^2. Derivatan av x - siffror, men i allmänhet - en funktion som är lika med 2 * x. Om vi behöver för att beräkna derivatan, exempelvis vid punkten x ₀ = 1, får vi y '(1) = 2 * 1 = 2. Det är väldigt enkelt. Ett intressant fall är derivatan av det komplexa talet. Att gå in i en detaljerad förklaring av vad ett komplext tal, vi kommer inte. Det räcker med att säga att detta antal, som innehåller den så kallade imaginära enheten - antalet vars kvadrat är lika med -1. Beräkningen av detta derivat är endast möjligt på följande villkor:

1) Det måste finnas första ordningens partiella derivator av de reella och imaginära delarna av y och X.

2) betingelserna för Cauchy-Riemann associerad med likhet partiell beskrivits i det första stycket.

Ett annat intressant fall, även om inte så komplicerat som det tidigare, är ett derivat av ett negativt tal. I själva verket kan eventuella negativa tal representeras som en positiv, multiplicerat med -1. Tja, derivat och konstant funktion lika med en konstant multiplicerad med derivatan av funktionen.

Det ska bli intressant att lära sig om betydelsen av derivat i deras dagliga liv, och det är nu och diskutera det.

ansökan

Förmodligen var och en av oss minst en gång i livet fånga själv tänka att matematiken är osannolikt att vara till nytta för honom. Och en sådan komplicerad sak som derivatet har förmodligen ingen nytta. Faktum är att matematik - grundläggande vetenskap, och alla dess frukter utvecklas främst fysik, kemi, astronomi och även ekonomin. Derivat markerade början av matematisk analys, som gav oss möjlighet att dra slutsatser från grafer av funktioner, och vi har lärt oss att tolka naturens lagar och förvandla dem till sin fördel på grund av det.

slutsats

Naturligtvis kan inte alla vara till nytta för derivatet i verkliga livet. Men matematik utvecklar logik som säkert kommer att behöva. Inte för ingenting eftersom matematiken kallas drottningen av vetenskaperna: den består av en grundläggande förståelse för andra kunskapsområden.