Dubbel integral. Uppgifter. egenskaper

Problem som leder till begreppet "dubbel integral".

1. Låt plan platta materialet i varje punkt i vilken densiteten är känd inom det plan som definieras. Vi måste hitta en hel del denna post. Eftersom denna platta har tydliga dimensioner kan det vara innesluten i en rektangel. kan förstås som densitet på plattan är också detta: vid dessa punkter på en rektangel som inte tillhör plattan, antar vi att densiteten är noll. Vi definierar en enhetlig brytning på samma antal partiklar. Således är den förutbestämda formen uppdelad i elementära rektanglar. Överväg en av dessa rektanglar. Välj någon punkt av rektangeln. Med tanke på litenheten hos dimensionerna av rektangeln kommer att antas att densiteten vid varje punkt av rektangeln är konstant. Då massan av en rektangulär partiklar, kommer att bestämmas som multiplikation av densiteten vid denna punkt i området för en rektangel. Området är känt, är multiplikationen av rektangeln längden med bredden. Och på koordinatplanet - en förändring med några steg. Då massan av hela skivan blir summan av massorna av dessa rektanglar. Om ett sådant förhållande att gå till gränsen, då kan du få den exakta förhållandet.
2. Vi definierar en rumslig kropp som begränsas av ursprung och funktion. Vi måste hitta volymen hos nämnda kropp. Liksom i det tidigare fallet, delar vi regionen i rektanglar. Vi antar att vid de punkter som inte tillhör domänen kommer funktionen att vara lika med 0. Låt oss betrakta en av den rektangulära bruten. Genom sidorna av en rektangel rita plan som är vinkelräta mot axlarna för abskissan och ordinatan. Vi erhålla parallellepiped som avgränsas underifrån i förhållande till planet för z-axeln, och på toppen av den funktionen, som definierades i problemet. Välj i mitten av rektangeln punkten. På grund av den begränsade storleken på rektangeln kan antas att funktionen inom denna rektangel har ett konstant värde, då kan du räkna ut volymen av en rektangel. En volym former blir lika med summan av alla mängder av sådana rektanglar. För att få en korrekt värde, måste du gå till gränsen.

Som sett från de uppgifter i varje exempel, drar vi slutsatsen att olika problem leder till ett betraktande av de dubbla mängder av samma art.

Egenskaper hos dubbel integraler.

Vi utgör problemet. Antag att i ett visst slutet område ges en funktion av två variabler, med de som ges av en kontinuerlig funktion. Eftersom området avgränsas, då det kan vara placerat på en rektangel som helt innehåller egenskaperna hos ett förutbestämt område punkt. Vi delar rektangeln i lika delar. Vi säger att den största diametern att bryta diagonalen av de resulterande rektanglar. Vi väljer nu gränserna för denna rektangel punkt. Om du hittar värdet vid denna tidpunkt är att fastställa hur mycket, då detta belopp kommer att kallas integral för en funktion i en viss domän. Gränserna för så integrerad summan, under de förhållanden som diametern av paus för att vara 0, och antalet rektanglar - oändligheten. Om en sådan gräns finns och beror inte på metoden att bryta området till rektanglar och valet av termer, då det kallas - en dubbel integral.

Den geometriska innehållet av dubbelgral: dubbla integrerade siffror lika stor volym av kroppen, som har beskrivits i Problem 2.

Att känna den dubbla integral (definition), kan du ställa in följande egenskaper:

1. Konstanten kan tas utanför integraltecken.
2. Integralen summan (skillnad) är lika med summan (skillnad) av integraler.
3. Av blir funktionerna mindre än vad som är den dubbla integral mindre.
4. Modulen kan göras under tecknet av den dubbla integrerade.