Maclaurin och nedbrytning av vissa funktioner

Studera avancerad matematik bör vara medvetna om att summan av en potensserie i intervallet konvergensen av ett antal av oss, är en kontinuerlig och obegränsat antal gånger en differentierad funktion. Frågan uppstår: är det möjligt att hävda att ges en godtycklig funktion f (x) - är summan av en potensserie? Det vill säga, under vilka förhållanden f-tioner f (x) kan representeras av en potensserie? Betydelsen av denna fråga är att det är möjligt att ersätta cirka £ teologiska f (x) är summan av de första termer av en potensserie, är det en polynom. En sådan ersättning funktion är ganska enkelt uttryck - polynom - är bekvämt och att lösa vissa problem i matematisk analys, nämligen att lösa integraler vid beräkning av differentialekvationer , etc ...

Det bevisas att för vissa f-ii f (x), varvid derivaten av den (n + 1): te ordning kan beräknas, inklusive den senaste i närheten av (α - R; x ₀ + R) för en punkt x = α rättvis formeln är:

Denna formel är uppkallad efter den berömda vetenskapsmannen Brooke Taylor. Ett antal som är härledd från den tidigare, kallas ett Maclaurin serien:

En regel som gör det möjligt att producera expansion i en Maclaurin serien:

1. Bestäm derivat av första, andra, tredje, ... order.
2. Beräkna vad är derivat vid x = 0.
3. Record Maclaurin serie för denna funktion, och sedan för att bestämma intervallet konvergens.
4. Bestämma intervallet (-R; R), där den resterande delen av formeln Maclaurin

_Rn (x) -> 0 för n -> oändlighet. Om en sådan finns, måste den funktionen f (x) vara lika med summan av den Maclaurin serien.

Betrakta nu Maclaurin-serien för de enskilda funktionerna.

1. Således, den första att vara f (x) = e ^x. Naturligtvis, att deras egenskaper så f-la har härlett en mängd av order, och f ^{(k) (x)} = e ^x, där k är lika med alla de naturliga talen. Substitut x = 0. Erhåller vi f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Baserat på det föregående, ett antal e ^x Det kommer att vara följande:

2. Maclaurin serie för funktionen f (x) = sin x. Omedelbart ange att F-tioner för alla okända derivat kommer att ha, förutom f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), där k är lika med något positivt heltal. Det vill säga, att göra enkla beräkningar kan vi konstatera att serien för f (x) = sin x kommer att se ut så här:

3. Nu låt oss betrakta IJU f-f (x) = cos x. Det är okänt för alla derivat av godtycklig ordning, och ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Återigen, efter att ha det gjort vissa beräkningar, finner vi att serien för f (x) = cos x kommer att se ut så här:

Så har vi listat de viktigaste funktionerna som kan utökas i en Maclaurin serien, men de kompletterar Taylor-serien för vissa funktioner. Nu ska vi räkna dem. Det bör också noteras att Taylor-serien och Maclaurin serien är en viktig del av verkstads rad beslut i högre matematik. Så Taylor-serien.

1. Den första är en serie av f-ii f (x) = ln (1 + x). Som i de tidigare exemplen, om detta vi f (x) = ln (1 + x) kan vikas ett nummer, användning av den allmänna formen av Maclaurin serien. men för den här funktionen Maclaurin kan erhållas mycket lättare. Integrera en geometrisk serie, erhåller vi ett antal för f (x) = ln (1 + x) för provet:

2. Och den andra, som kommer att vara slutgiltigt i denna artikel, kommer att vara en serie för f (x) = arctg x. För x tillhör intervallet [-1; 1] är giltigt sönderfall:

Det är allt. I den här artikeln har jag kartlagt den mest använda Taylor-serien och Maclaurin serier i högre matematik, särskilt i de ekonomiska och tekniska högskolor.